Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009
.pdfМ-7. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
7.0. Введение в модуль
Основными целями модуля являются:
рассмотрение понятия степени статической неопределимости;
знакомство с разновидностями статически неопределимых стержневых конструкций;
знакомство со свойствами статически неопределимых стержневых конструкций;
знакомство с общей и частной задачей расчета статически неопределимых стержневых конструкций;
выяснение сути решения частной задачи расчета статически неопределимых стержневых конструкций методом сил.
Структураизучаемогомодуля включаетследующие учебныеэлементы: 1. Степень статической неопределимости.
2. Свойства статически неопределимых стержневых систем.
3. Основная и частная задачи расчета статически неопределимых систем.
4. Сущность метода сил.
При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-
дующей литературы: [1, c. 309 – 316]; [3, c. 193 – 199]; [4, c. 197 – 202]; [5, c. 233 – 238].
7.1.Степень статической неопределимости
7.1.1. Связь с числом степеней свободы
Расчетная схема стержневой конструкции считается статически неопределимой системой, если уравнений статики недостаточно для однозначного определения опорных реакций и внутренних усилий, возникающих в конструкции при произвольной статической нагрузке.
11
Как было установлено ранее, статически неопределимые стержневые конструкции всегда являются геометрическими неизменяемыми системами с избыточным числом связей. Необходимым количественным признаком такой разновидности геометрической неизменяемости конструкции является следующее соотношение для числа степеней свободы
W 0.
Следовательно, количество лишних или избыточных связей в конструкции, которые можно удалить, сохраняя ее геометрическую неизменяе-
мость, равняется |
|
Л W . |
(7.1) |
Число таких связей называется степенью статической неопредели-
мости. Эта величина является важной количественной характеристикой, с помощью которой принято различать статически неопределимые стержневые конструкции. Например, при Л 1 конструкция называется один раз статически неопределимой, при Л 2 – два раза статически неопределимой и так далее. Чем выше степень статической неопределимости, тем сложнее расчет стержневой конструкции.
7.1.2. Влияние замкнутых контуров
Если для стержневой конструкции, имеющей вид замкнутого контура и опертой по балочной схеме (рис. 7.1, а), определить число степеней свободы,
Рис. 7.1
то получим W = 0. Следовательно, напрашивается вывод, что у нее отсутствуют лишние связи, а конструкцию можно считать статически определимой системой.
Однако попытаемся найти внутренние усилия в сечении 1, используя метод сечений и уравнения равновесия для системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Тогда согласно схеме, показанной на рис. 7.1, б, получим, что в три уравнения равновесия, кроме трех интересующих нас
12
внутренних усилий в сечении 1, входят ещё три неизвестных внутренних усилия M2, Q2, N2, связанных с удалением связей в сечении ригеля. Следовательно, одних уравнений равновесия для определения всех внутренних усилий недостаточно и конструкция трижды статически неопределимая.
Таким образом, можно сделать вывод, что замкнутый контур дополнительно приносит три лишние связи. В общем случае, когда конструкция состоит только из K замкнутых контуров, то её степень статической неопределимости определяется по формуле
(7.2)
В том случае, когда замкнутый контур разрезается шарниром, то число лишних связей уменьшается на единицу. Поэтому для конструкции, состоящей из K замкнутых контуров с общим числом врезанных шарниров Ш, степень статической неопределимости определяется по формуле
Л 3K Ш . |
(7.3) |
При подсчете числа шарниров, входящих в (7.3), учитывается степень их кратности. Степень кратности шарнира, разрезающего одновременно несколько замкнутых контуров, равняется числу стержней замкнутых контуров, примыкающих к такому шарниру, минус один. Например, для шарнира, показанного на рис. 7.2, степень его кратности равняется двум
Рис. 7.2
Таким образом, в общем случае, когда стержневая конструкция включает участки, как содержащие замкнутые контуры, так и не содержащие их, степень статической неопределимости конструкции определяется по формуле
Л W 3K Ш . |
(7.4) |
7.1.3. Универсальная формула
Полученные формулы (7.1) – (7.4) позволяют определять степень статической неопределимости для любых плоских стержневых конструкций. Формула (7.1) справедлива для конструкций, не имеющих замкнутых
13
контуров. Формула (7.2) применима для конструкций, состоящих из одних замкнутых контуров. Формула (7.3) распространяется на конструкции, состоящие из замкнутых контуров с врезанными в них шарнирами. И, наконец, формула (7.4) позволяет определить степень статической неопределимости для стержневых конструкций, имеющих участки, как содержащие замкнутые контуры, так и не содержащие их.
Однако существует формула, позволяющая единообразно определять степень статической неопределимости во всех рассмотренных выше случаях. Рассмотрим ее получение на частном примере рамы, показанной на рис. 7.3, а.
Рис. 7.3
Искусственно преобразуем заданную раму в конструкцию, состоящую из одних замкнутых контуров. Для этого заменим шарнирный узел жестким, шарнирные опоры защемляющими и «замкнём» раму диском «земля» (рис. 7.3, б). Получим конструкцию, состоящую из двух замкнутых контуров.
Осуществим обратный переход от полученной конструкции к исходной раме. Для этого врежем в искусственную конструкцию 5 удаленных шарниров (рис. 7.3, в). Тогда по формуле (7.3) получим
Л 3 2 4 2.
Проверим полученный результат по формуле (7.1). Для конструкции, показанной на рис. 7.3, а
W 2,
и, следовательно, получим тоже значение степени статической неопределимости
Л 2.
14
Таким образом, формула |
|
Л 3K Ш |
(7.5) |
является универсальной и может применяться для подсчета степени статической неопределимости любой плоской стержневой конструкции.
Величина K, входящая в формулу (7.5), определяет число замкнутых контуров искусственной конструкции. Для её получения необходимо в заданной конструкции заменить все шарнирные соединения (внутренние узлы и опорные закрепления) жесткими, а также «замкнуть» ее диском «земля».
Величина Ш, входящая в формулу (7.5), определяет число шарниров, которые нужно ввести в искусственную конструкцию, чтобы получить из нее заданную конструкцию. Подсчет числа вводимых шарниров ведется с учетом их кратности.
7.1.4. Составляющие степени статической неопределимости
Формулы (7.4) и (7.5) позволяют определить для произвольной плоской стержневой конструкции степень полной статической неопределимости. В общем случае эта величина складывается из двух составляющих
Л Л1 Л2 ,
где Л1 – число внешних лишних связей, определяющих степень внешней статической неопределимости конструкции, Л2 – число внутренних
лишних связей, определяющих степень внутренней статической неопределимости конструкции.
Число внешних лишних связей определяется по формуле
Л1 C0 3 Cзам ,
где C0 – общее число опорных стержней конструкции; Cзам – число опор-
ных стержней, заменяющих недостающие внутренние связи в конструкции отделённой от опорных закреплений.
Число внутренних лишних связей определяется по формуле
Л2 Л Л1 .
Взависимости от значений, принимаемых Л1 и Л2 , принято разли-
чать следующие разновидности статически неопределимых стержневых конструкций:
Л1 0 и Л2 0 – внешне статически неопределимые стержневые конструкции;
Л1 0 и Л2 0 – внутренне статически неопределимые стерж-
невые конструкции;Л1 0 и Л2 0 – статически неопределимые стержневые кон-
струкции общего вида.
15
7.2. Свойства статически неопределимых стержневых конструкций
Статически неопределимые стержневые конструкции обладают рядом специфических свойств, существенным образом отличающих их от статических определимых конструкций. Перечислим эти свойства без доказательства:
1.Внутренние усилия в статически неопределимых стержневых конструкциях зависят от числа лишних связей, а также их геометрических и физических параметров.
2.Несущая способность статически неопределимых стержневых конструкций больше по сравнению со статически определимыми конструкциями, которые могут быть получены из статически неопределимых удалением лишних связей.
3.В статически неопределимых стержневых конструкциях возникающие перемещения, как правило, меньше перемещений статически определимых конструкций, которые могут быть получены из статически неопределимых удалением лишних связей.
4.В статически неопределимых стержневых конструкциях, как правило, возникают дополнительные внутренние усилия от осадки опор и изменений температуры.
5.В статически неопределимых стержневых конструкциях могут возникать монтажные внутренние усилия в случае неточностей изготовления отдельных элементов этих конструкций.
6.Внутренние усилия, возникающие в статически неопределимых стержневых конструкциях от действия нагрузки, зависят от соотношения жесткостей (EI, EA, GA) поперечных сечений отдельных элементов конструкции, а внутренние усилия, возникающие от кинематических воздействий – от самих величин этих жесткостей.
7.3. Основная и частная задачи расчета статически неопределимых систем
Формулировка основной задачи расчета стержневых статически неопределимых конструкций, имеющая наибольшее значение для их проектирования, звучит следующим образом. При заданных геометрической схеме конструкции и приложенных к ней внешних воздействиях определить оптимальные поперечные сечения (форму и размеры) всех конструктивных элементов и обеспечить достаточную надежность (прочность, же-
16
сткость и устойчивость) конструкции в целом. В общем виде такая задача пока не решена.
Вместо этого строительная механика предлагает решение другой частной задачи. Решение такой задачи позволяет определить внутренние усилия и перемещения в стержневой статически неопределимой конструкции при заданных геометрической схеме системы, поперечных сечениях стержней и внешних воздействиях.
Поскольку внутренние усилия в статически неопределимой конструкции зависят от геометрических и физических параметров системы, а те, в свою очередь, влияют на качественную и количественную стороны процесса ее деформирования, то для решения частной задачи используются
дополнительные уравнения, отражающие особенности деформирования конструкции.
Входящие в дополнительные уравнения неизвестные величины называются основными неизвестными задачи и подлежат первоочередному определению. В качестве основных неизвестных задачи могут использоваться внутренние усилия в лишних связях или узловые перемещения стержневой конструкции.
В зависимости от природы используемых основных неизвестных различают следующие классические методы решения частной задачи или методы расчета статически неопределимых стержневых конструкций:
метод сил – в качестве основных неизвестных используются внутренние усилия в лишних связях стержневой конструкции;
метод перемещений – в качестве основных неизвестных используются узловые перемещения стержневой конструкции;
смешанный метод – в качестве основных неизвестных одновременно используются величины первого и второго вида.
Суть расчета статически неопределимых стержневых конструкций названными методами состоит в следующем. Расчет заданной конструкции заменяется расчетом некоторой более простой эквивалентной конструкцией. Такая конструкция называется основной системой, образование которой для каждого метода производится по-разному. Затем, исходя из особенностей деформирования заданной конструкции в определенных местах, получают дополнительные уравнения. Такие уравнения называются каноническими уравнениями соответствующего метода. Решение канонических уравнений позволяет определить основные неизвестные. После этого определяют требуемые внутренние усилия и перемещения заданной конструкции.
17
7.4. Суть метода сил
Поясним суть метода сил на примере один раз статически неопределимой рамы (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Для рамы считаются известными геометрические размеры, материал и геометрические характеристики поперечных сечений конструкционных элементов. На раму действует некоторая произвольная нагрузка. Под действием нагрузки рама деформируется, и в ней возникают внутренние усилия – изгибающие моменты, поперечные и продольные силы. Исходное состояние рамы называется заданной системой.
Лишней связью в рассматриваемой раме является любой опорный стержень. Для определенности примем за лишнюю связь горизонтальный опорный стержень на правой опоре рамы. Для образования основной системы метода сил отбросим лишнюю связь и заменим ее действие реакцией удаленной связи (рис. 7.5).
Рис. 7.5
Реакция удаленной лишней связи является основным неизвестным метода сил. Приложение основного неизвестного в качестве дополнитель-
18
ного внешнего воздействия позволяет устранить различие внутренних усилий двух систем или восстановить статическую эквивалентность.
От действия основного неизвестного и заданной нагрузки в статически определимой системе возникает горизонтальное перемещение правой опоры, которое отсутствует в заданной системе. Для устранения различий перемещений двух систем или восстановления кинематической эквивалентности вводится условие обращения в ноль указанного перемещения
(7.6)
Статически определимая рама (рис.7.5), для которой соблюдаются требования статической и кинематической эквивалентности, и является основной системой метода сил рассматриваемой рамы. Дальнейшее определение искомых внутренних усилий производится в основной системе, которая полностью эквивалентна заданной раме.
Считая основную систему, как и заданную раму, линейно деформируемыми, условие (7.6) разворачивается в дополнительное уравнение относительно основного неизвестного X1
11X1 1P 0. |
(7.7) |
Уравнение (7.7) называется каноническим уравнением метода сил.
Входящие в это уравнение величины 11 и 1P являются перемещениями в основной системе по направлению удаленной связи от действия
~
силы X1 1 и заданной нагрузки. Для их определения используется формула Максвелла – Мора.
После нахождения основного неизвестного искомые внутренние усилия заданной системы, согласно схеме нагружения основной системы (рис. 7.5) и принципу независимости действия сил, получаются сложением внутренних усилий, найденных в основной системе от действия основного неизвестного X1 и заданной нагрузки.
7.5. Резюме
Число лишних связей конструкции, которые можно удалить, сохраняя ее геометрическую неизменяемость, называется степенью статической неопределимости. Эта величина является важной количественной характеристикой, с помощью которой принято различать статически неопределимые стержневые конструкции.
Лишние связи могут располагаться в опорных закреплениях или замкнутых контурах стержневой конструкции. Лишние связи расположен-
19
ные в опорных закреплениях называются внешними лишними связями. Лишние связи, порождаемые замкнутыми контурами, называются внутренними лишними связями.
Взависимости от наличия внешних и внутренних лишних связей принято различать:
– внешне статически неопределимые конструкции;
– внутренне статически неопределимые конструкции;
– статически неопределимые конструкции общего вида. Статически неопределимые стержневые конструкции обладают ря-
дом специфических свойств, существенным образом отличающих их от статических определимых конструкций.
Теория расчета статически неопределимых стержневых конструкций позволяет определять внутренние усилия и перемещения при заданных геометрической схеме конструкции, поперечных сечениях стержней и внешних воздействиях.
Существует три классических метода расчета статически неопределимых стержневых конструкций – метод сил, метод перемещений и смешанный метод.
Воснове расчета статически неопределимых стержневых конструкций всеми тремя методами лежит переход от расчета заданной конструкции к расчету более простой эквивалентной конструкции и получении дополнительных уравнений, отражающих особенности деформирования заданной конструкции.
7.6. Материалы для самоконтроля
Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:
лишняя связь;
степень статической неопределимости;
влияние замкнутого контура на число лишних связей;
влияние шарнира в замкнутом контуре на число лишних связей;
степень кратности шарнира замкнутого контура;
частные формулы для подсчёта степени статической неопредели-
мости;
универсальную формулу для подсчета степени статической неопределимости;
степень внешней статической неопределимости;
20